小噪声无粘极限下被动标量的不变测度

我们考虑了一类被动标量 $f$ 的不变测度，该标量由不可压缩速度场 $\boldsymbol{u}$ 驱动，定义在 $d$ 维周期域上，满足 $$\partial_t f + \boldsymbol{u} \cdot \nabla f = 0, \qquad f(0)=f_0.$$ 这些测度是作为随机粘性扰动的极限获得的。我们证明了算子 $\boldsymbol{u}\cdot\nabla$ 的 $H^1$ 特征函数的张成空间包含了这些测度的支撑。我们还分析了几个显式例子：当 $\boldsymbol{u}$ 为剪切流或弛豫增强流（弱混合的推广）时，我们可以唯一刻画极限测度并计算其协方差结构。我们还考虑了二维胞腔流的情况，由此可推导出测度支撑中函数的进一步正则性性质。主要结果利用谱论结果证明，特别是 RAGE 定理，该定理用于刻画无粘问题中在 $H^1$ 中增长的大类轨道。