白噪声、Hida-Malliavin微积分及其应用导论

这些讲义的目的有三：我们首先简要综述Hida白噪声微积分，并在此背景下引入Hida-Malliavin导数，作为取值于Hida随机分布空间$(\mathcal{S})^*$的随机梯度。我们证明，定义在$L^2(\mathcal{F}_T,P)$上的该Hida-Malliavin导数是定义在$L^2(P)$子空间$\mathbb{D}_{1,2}$上的经典Malliavin导数的自然推广。Hida-Malliavin微积分使我们能够在比经典理论更弱的假设下证明新结果。特别地，我们证明如下：(i) Skorohod积分的一般分部积分公式与对偶定理，(ii) 广义随机微积分基本定理，以及(iii) 对所有$F \in L^2(\mathcal{F}_T,P)$成立的广义Clark-Ocone定理。作为上述理论的应用，我们证明如下：含跳倒向随机微分方程的基于Hida-Malliavin导数的表示定理；最优控制的广义随机最大值原理；倒向随机Volterra积分方程；随机Volterra积分方程及其他随机系统的最优控制。