无穷层级极限下法里分数间的区间

修正法里序列在每一层级 k 由有理分数 r_k^{(n)} 组成,其中 n=1, 2, ...,2^k+1。我们考虑 I_k^{(e)},即法里分数之间(在某组)交替区间的总长度,这些分数在层级 k 是新的(即首次出现),I^{(e)}_k := \sum_{i=1}^{2^{k-2}} (r_k^{(4i)}- r_k^{(4i-2)}) 。我们证明 \liminf_{k\to \infty} I_k^{(e)}=0,并猜想事实上 \lim_{k \to \infty}I_k^{(e)}=0。法里分数这一简单的几何性质出人意料地微妙,似乎没有简单的解释。该猜想等价于 $ lim_{k \to \infty}S_{k}=0,其中 S_{k} 是层级 k 新分母倒数平方之和,S_{k}:=\sum_{n=1}^{2^{k-1}} 1/ (d_k^{(2n)} )^2。我们的结果利用了法里分数区间用其在较低层级的“母”区间表示的界。