虚二次数域复Farey 序列的间隔

给定虚二次数域 $K$ 及其整数环 $\mathcal{O}_K$， 我们关注复Farey 分数 $\frac{p}{q}$（其中 $p,q \in \mathcal{O}_K$ 且 $0<|q|\leq T$）在 $T \to \infty$ 时的到最近邻距离（即间隔）统计量。我们将此问题在齐次动力学语境下重构，沿着 J. Marklof 对实Farey 分数（多变量，2013）的方法，并将 J. Parkkonen 与 F. Paulin（2023）在实3维双曲空间中的联合均匀分布结果推广， 以推导描述该渐近间隔统计量的概率测度的存在性。我们获得其累积分布函数的积分公式， 并通过几何论证在高斯和 Eisenstein 分数的情况下找到其尾分布的显式估计。