$k$-Farey图的组合性质

着眼于研究低复杂度曲面上的曲线系统，我们引入并分析了$k$-Farey图$\mathcal{F}_k$和$\mathcal{F}_{\leqslant k}$，这是Farey图的两个自然变体，其中我们将边条件放宽为分别表示相交数$=k$或$\le k$。前者$\mathcal{F}_k$在$k>1$时不连通。事实上，我们发现连通分支数为无穷当且仅当$k$不是素数幂。此外，我们发现当$k$为偶数时$\mathcal{F}_k$的每个分支都是无限价树，且当$k>1$时$\mathrm{Aut}(\mathcal{F}_k)$不可数。对于$\mathcal{F}_{\leqslant k}$，Agol给出了色数和团数的上界$1+\min\{p:p\text{为素数}>k\}$，并观察到当下界$k$比某个素数小1或2时该上界取等。我们在此列表中补充了$k$比某个满足$11\ (\mathrm{mod}\ 12)$的素数小3的情形，并展示了大量使等号不成立的$k$值的计算机辅助计算。