商环的交与Prüfer v-乘法域

设 $D$ 为一个整环，其商域为 $K$。称 $D$ 的一个上环 $S$ 为包含 $D$ 作为子环的 $K$ 的子环。若 $D = \bigcap\{S_\lambda\mid\lambda \in \Lambda \}$，则称 $D$ 的一族上环 $\{S_\lambda\mid\lambda \in \Lambda \}$ 为 $D$ 的定义族。若 $S$ 有一个由 $D$ 的分式环组成的定义族，则称上环 $S$ 为 $D$ 的子局部化。子局部化及其交展示了半星运算或星运算的有趣例子。作为我们工作的结果，我们表明，局部有限交的 Prüfer $v$-乘法（相应地，Mori）子局部化域原来是 Prüfer $v$-乘法域（相应地，Mori 域）；特别地，对于 Mori 域的情形，我们重新得到了 \cite[Th\'eor\`eme 1]{Q} 和 \cite[Proposition 3.2]{de} 的一个特例。我们还表明，比起定义族的有限特征，由定义族诱导的星运算的有限特征才是产生这些有趣结果的原因。作为该理论的一个特例，我们提供了一种纯代数方法，将 Prüfer $v$-乘法域刻画为本质域类的一个子类（另见 \cite[Theorem 2.4]{FT}）。