椭圆曲线挠点的相交

2007年，Bogomolov 和 Tschinkel 证明了：给定两条复椭圆曲线 $E_1$ 和 $E_2$，以及具有不同分支轨迹的偶二度映射 $\pi_j\colon E_j\to \mathbb{P}^1$，则 $E_1$ 和 $E_2$ 的挠点在其各自 $\pi_j$ 下的像的交集是有限的。他们（也与 Fu 合作）猜想该交集的基数独立于椭圆曲线而被一致有界。正如文献中所注意到的，最近 Uniform Manin-Mumford 猜想的证明意味着 Bogomolov-Fu-Tschinkel 猜想的完全解决。本文证明了 Bogomolov-Fu-Tschinkel 猜想的一个推广：不再使用偶二度映射，而是可以使用椭圆曲线上任意有界次数的有理函数，只要它们具有不同的分支轨迹。我们的方法结合了 Nevanlinna 理论与 Uniform Manin-Mumford 猜想。利用类似技术，我们还证明了数域上椭圆曲线秩的下界的一个结果。