插值与非可膨胀的 $\mathcal{C}_{0}$-半群族

我们将 Bhat 与 Skeide (2015) 的一种技术推广,用以将 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上交换的收缩族 $\{S_{i}\}_{i \in \mathcal{I}}$ 插值到 $L^{2}(\prod_{i \in \mathcal{I}}\mathbb{T}) \otimes \mathcal{H}$ 上交换的压缩 $\mathcal{C}_{0}$-半群族 $\{T_{i}\}_{i \in \mathcal{I}}$。作为旁支,我们给出该插值在时间离散化与嵌入问题中的应用。将其应用于 Parrott 的构造 (1970),我们随后对 $d \in \mathbb{N}$ 且 $d \geq 3$ 证明了存在交换的压缩 $\mathcal{C}_{0}$-半群族 $\{T_{i}\}_{i=1}^{d}$ 不可同时酉膨胀。作为这些反例的应用,我们得到:对每个 $d \geq 3$,在可分无限维 Hilbert 空间上非酉可膨胀且非酉可逼近的 $d$-参数压缩 $\mathcal{C}_{0}$-半群,关于 $\mathbb{R}_{\geq 0}^{d}$ 紧子集上一致 wot-收敛拓扑是剩余的。对 $d$-元组交换收缩也得到了类似结果。基于 Varopoulos--Kaijser (1973--74) 的反例,获得了 von Neumann 不等式的一个 0--1 结果。最后,我们讨论在刚性及嵌入问题中的应用,即“典型”交换算子对可同时嵌入到交换的 $\mathcal{C}_{0}$-半群对中,这推广了 Eisner (2009--10) 的结果。