二维 Epstein zeta 函数临界零点与非临界零点间的相互作用

本文研究了在间距为 $a_x=1$ 和 $a_y=\Delta$ 的矩形格点上构造的二维 Epstein zeta 函数，$\zeta^{(2)}(s,\Delta) = \frac{1}{2} \sum_{j,k} (j^2+\Delta^2 k^2)^{-s}$ $(\Re(s)>1)$，其中求和遍历除原点 $(j,k)=(0,0)$ 外的所有整数。它可以解析延拓到除 $s=1$ 点外的整个复 $s$ 平面。Epstein zeta 函数的非平凡零点 $\{ \rho=\rho_x+{\rm i}\rho_y \}$ 由 $\zeta^{(2)} (\rho,\Delta)=0$ 定义，分为“临界”零点（位于临界线 $\rho_x=\frac{1}{2}$ 上）和“非临界”零点（$\rho_x\ne\frac{1}{2}$）。根据目前的数值计算，临界零点在 $(\Delta,\rho_y)$ 平面内形成开曲线或闭曲线 $\rho_y(\Delta)$。两个最近的临界零点在特殊点处合并，这些特殊点被称为左/右边缘零点，由发散的切线 ${\rm d}\rho_y/{\rm d}\Delta\vert_{\Delta^*}$ 定义。每个边缘零点产生一条非临界零点的连续曲线，从而可以系统地生成这些非临界零点。通常，每条非临界零点曲线连接一对左边缘零点和右边缘零点。结果表明，在各向异性参数 $\Delta$ 取值较小/较大的区域，Epstein zeta 函数可以由一个函数充分近似，该函数在 $\Delta\to 0$ 和 $\Delta\to\infty$ 的极限下揭示了临界零点沿虚轴的等距分布。还发现，对于每个 $\Delta\in (0,\Delta_c^*]\cup [1/\Delta_c^*,\infty)$（其中 $\Delta_c^*\approx 0.141733$），存在一对 \emph{实} 非临界零点，在 $\Delta\to 0,\infty$ 的极限下，它们的 $\rho_x$ 分量趋向于临界区域的边界 $0$ 和 $1$。通常，每条非临界零点曲线连接一对左边缘零点和右边缘零点。