关于 Epstein Zeta 函数的极小值与凸性

设 $Z_n(s; a_1,..., a_n)$ 为 Epstein zeta 函数，定义为函数 \sum_{k\in\Z^n\setminus\{0\}}(\sum_{i=1}^n [a_i k_i]^2)^{-s}, \text{Re} s>\frac{n}{2} 到复平面的亚纯延拓。我们证明，对于固定的 $s\neq n/2$，当 $\prod_{i=1}^n a_i$ 固定时，函数 $Z_n(s; a_1,..., a_n)$ 作为 $(a_1,..., a_n)\in (\R^+)^n$ 的函数，在点 $a_1=...=a_n$ 处具有唯一极小值。当 $\sum_{i=1}^n c_i$ 固定时，函数 $$(c_1,..., c_n)\mapsto Z_n(s; e^{c_1},..., e^{c_n})$$ 可被证明是变量 $\{c_1,...,c_n\}$ 中任意 $(n-1)$ 个的凸函数。随后将这些结果应用于研究 $s$ 在临界范围 $(0, n/2)$ 内时 $Z_n(s; a_1,..., a_n)$ 的符号。结果表明，当 $1\leq n\leq 9$ 时，$Z_n(s; a_1,..., a_n)$ 作为 $(a_1,..., a_n)\in (\R^+)^n$ 的函数，对于每个 $s\in (0,n/2)$ 既可为正也可为负。当 $n\geq 10$ 时，存在 $s\in(0,n/2)$ 的一些开子集 $I_{n,+}$，使得对于所有 $(a_1,..., a_n)\in(\R^+)^n$，$Z_{n}(s; a_1,..., a_n)$ 均为正。通过将 $Z_n(s; a_1,..., a_n)$ 视为 $s$ 的函数，我们发现当 $n\geq 10$ 时，广义 Riemann 假设对于所有 $(a_1,...,a_n)$ 均不成立。