谐振子 Wigner-Weyl 分布的界面渐近性

我们证明了 $\mathbb R^d$ 上各向同性谐振子谱投影的 Wigner 分布的几类标度结果。在先前工作中，我们研究了单个特征子空间投影的 Wigner 分布 $W_{\hbar, E_N(\hbar)}(x, \xi)$。在这一延续工作中，我们研究此类 Wigner 分布的 Weyl 和，其中特征值 $E_N(\hbar)$ 取遍各种宽度 $\delta(\hbar)$ 的谱区间 $[E - \delta(\hbar), E + \delta(\hbar)]$，且 $(x, \xi) \in T^*\mathbb R^d$ 取遍经典能量面 $\Sigma_E \subset T^*\mathbb R^d$ 周围各种宽度的管域。主要结果涉及 $\Sigma_E$ 周围的界面 Airy 标度渐近性，该能量面将相空间划分为允许区域与禁戒区域。第一个结果涉及 $\delta(\hbar) = \hbar$ 宽度，推广了我们关于单个特征子空间投影 Wigner 分布的早期结果。我们的第二个结果涉及 $\delta(\hbar) = \hbar^{2/3}$ 谱宽度以及 Wigner 分布在 $\hbar^{2/3}$-管域中围绕 $\Sigma_E$ 的 Airy 渐近性。我们的第三个结果涉及固定宽度的体谱区间，以及 Wigner 分布在能量面内部、能量面外部和能量面薄邻域中的行为。