谐振子本征函数及其节集在焦散线附近的缩放

我们研究各向同性谐振子 $- \hbar ^2 \Delta + |x|^2$ 在半经典极限 $\hbar \to 0$ 下特征值 $E = \hbar(N + \frac{d}{2})$ 的本征空间投影核 $\Pi_{\hbar, E}(x,y)$ 的缩放渐近性。主要结果是关于当 $\hbar \to 0$ 时，对于焦散线 $\mathcal C_E$ 的 $\hbar^{2/3}$ 邻域中的 $x,y$，$\Pi_{\hbar, E}(x,y)$ 的缩放渐近性的显式公式。该缩放渐近性被应用于当 $\hbar \to 0$ 时焦散线附近高斯随机本征函数的节集分布。在先前工作中，我们证明了 $\hat{H}_{\hbar}$ 的高斯随机本征函数的零点密度在允许区和禁戒区对普朗克常数 $\hbar$ 具有不同的阶：在允许区密度阶为 $\hbar^{-1}$，而在禁戒区为 $\hbar^{-1/2}$。我们关于节集的主要结果是，在焦散线周围的 $\hbar^{\frac{2}{3}}$ 管域内，零点密度为 $\hbar^{-\frac{2}{3}}$ 阶。该管半径即“临界半径”。对于内外半径更大为 $\hbar^{\alpha}$ ($0< \alpha < \frac{2}{3}$) 的环域，我们得到了在此临界半径结果与我们先前在允许区和禁戒区结果之间插值的密度结果。我们还证明了节集与焦散线交集的 Hausdorff $(d-2)$ 维测度为 $\hbar^{- \frac{2}{3}}$ 阶。