轴对称壳的自由振动：抛物型与椭圆型情形

随着厚度($2\varepsilon$)趋于零，通过渐近分析确定了具有侧向夹紧边界条件（Lamé系统）的轴对称薄弹性域的近似特征对（准模态）。出发点是Koiter壳模型，我们通过渐近分析将其简化为依赖于两个参数的标量模型：角频率$k$和半厚度$\varepsilon$。针对每个选定的$\varepsilon$优化$k$，我们发现$k$关于$\varepsilon$的幂律，其给出了标量化简的最小特征值。通过若干重构算子（包括边界层项），相应的特征对生成三维Lamé系统的准模态。数值实验表明，在许多情况下，所构造的特征对对应于Lamé系统的第一个特征对。该方法需要几何条件：高斯曲率必须非负，且在中曲面的任何点上，方位角曲率必须主导子午线曲率。在这种情况下，随着$\varepsilon$趋于$0$，第一个特征向量在角变量中呈现逐渐增大的振荡。其角频率表现出形式为$k=\gamma \varepsilon^{-\beta}$的幂律关系，其中在抛物型情形（圆柱和截锥）下$\beta=\frac14$，在椭圆型情形下不同的$\beta$值$\frac25$、$\frac37$和$\frac13$。对于数学分析适用的这些情形，给出了说明理论结果的数值例子。