Gross-Pitaevskii 方程的交互螺旋行波解

我们考虑三维 Gross-Pitaevskii 方程 \begin{equation}\nonumber i\partial_t \psi +\Delta \psi+(1-|\psi|^2)\psi=0 \text{ for } \psi:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{C} \end{equation} 并构造该方程的行波解。这些解具有形式 $\psi(t,x)=u(x_1,x_2,x_3-Ct)$，其中速度 $C$ 对小参数 $\varepsilon>0$ 而言为 $\varepsilon|\log\varepsilon|$ 量级。我们构建两类不同的解。第一类，函数 $u$ 的零点集（涡旋集）接近于 $n\geq 2$ 条螺旋线的并，且在这些螺旋线附近 $u$ 的度数为 1。第二类，函数 $u$ 在竖直轴 $e_3$ 附近有一条度数为 $-1$ 的涡旋丝，以及在轴为 $e_3$ 的螺旋线附近有 $n\geq 4$ 条度数为 $+1$ 的涡旋丝。两种情况下螺旋线距轴的距离均为 $1/(\varepsilon\sqrt{|\log \varepsilon|})$ 量级，并且是 Klein-Majda-Damodaran 系统的解，该系统被认为描述了理想流体中近似平行的涡旋丝的演化。作者最近针对稳态 Gross-Pitaevskii 方程（即 Ginzburg-Landau 方程）构造了类似的解。为证明这些解的存在性，我们采用 Lyapunov-Schmidt 方法，并对合适近似的误差的偶与奇傅里叶模式进行精细分离。