三维有理 Calogero-Moser 模型的可积与超可积推广

我们考虑一类具有 3 个自由度的哈密顿系统，其带有一种特定类型的二次积分，并以有理 Calogero-Moser 系统为特例。对于该一般类，我们引入分离坐标以寻找具有两个二次积分的一般可分离（从而是 Liouville 可积）系统。这给出了 Calogero-Moser 系统与一大类势的耦合，推广了在抛物坐标中可分离的那组势。特例是超可积的，包括开普勒系统和共振振子。本文最初的运算针对平坦（笛卡尔型）动能，但在第 \ref{sec:conflat-general} 节中，我们向 $H$ 引入一个共形因子 $\varphi$，并将两个二次积分推广到该情形。此前所有结果均被推广至该情形。随后我们引入动能的一些 2 维和 3 维对称代数（Killing 向量），它们对共形因子施加限制。这使得我们能将系统从 3 个自由度约化到 2 个自由度，从而产生许多有趣的系统，包括在 Darboux-Koenigs $D_2$ 背景上的开普勒型和 H\'enon-Heiles 型势。