二维聚焦 NLS 涡旋孤子的不稳定性

我们研究涡旋孤子 $e^{i(m\theta+\omega t)}\phi_{\omega,m}(r)$ 对 $$iu_t+\Delta u+|u|^{p-1}u=0,\quad\text{for $x\in\R^n$, $t>0$,}$$ 的不稳定性，其中 $n=2$，$m\in\N$，$(r,\theta)$ 为 $\R^2$ 中的极坐标。Grillakis \cite{Gr} 证明了若 $p>1+4/n$，则每个径向驻波解都不稳定。然而，在次临界情形 $(p<1+n/4)$ 我们没有任何不稳定驻波解的例子。设 $\phi_{\omega,m}$ 非负。我们考察当 $m\to\infty$ 时 $\phi_{\omega,m}$ 的极限轮廓，并证明对每个 $p>1$，存在 $m_*\in \N$ 使得对 $m\ge m_*$，涡旋孤子 $e^{i(m\theta+\omega t)}\phi_{\omega,m}(r)$ 对形如 $e^{i(m+j)\theta}v(r)$ 且 $1\ll j\ll m$ 的扰动变得不稳定。