自由边界 MHD 方程的尖锐 well-posedness 理论

本文提供了不可压缩磁性流体动力学中自由边界问题的确定性 well-posedness 理论。尽管该系统具有明显的物理意义，且近些年在自由边界欧拉方程研究中取得了显著进展，但自由边界 MHD 方程的低正则性 well-posedness 仍完全开放。这主要是由于速度、磁场与自由边界之间高度非线性的波型耦合，迫使以往工作对数据施加严格的几何约束。为此，我们引入一种新型的欧拉方法和全新的函数空间设置，这更好地捕捉了 MHD 方程的波方程结构，使得在低正则性 Sobolev 空间中能够给出完整的 Hadamard well-posedness 理论。特别是，我们给出了在锐利 $s>\frac{d}{2}+1$ Sobolev 正则性下，存在性、唯一性和数据连续性依赖性的第一个证明，此外还给出了在同一低正则性尺度上的光滑解的爆炸判据。此外，我们提供了一种全新的方法，用于构造光滑解，我们的知识认为这是该新函数空间设置下第一个存在性证明。所有结果均适用于任意维数且适用于一般情况，无需简单连通域。若取磁场为零，它们也恢复了对应锐利 well-posedness 定理的自由边界欧拉方程。我们在此所采用的方法和工具可能有利于在其他自由边界模型中实现。