源自 $Z/p^eZ$ 上本原序列的压缩序列中元素分布的单射性

设 $p\geq3$ 为素数，$e\geq2$ 为整数。设 $\sigma(x)$ 为 $Z/p^eZ$ 上次数为 $n$ 的本原多项式，$G'(\sigma(x),p^e)$ 为由 $\sigma(x)$ 生成的本原线性递归序列集合。$Z/p^eZ$ 上的压缩映射 $\varphi$ 自然诱导了 $G'(\sigma(x),p^e)$ 上的映射 $\hat{\varphi}$。对于 $\varphi$ 像集的子集 $D$，若压缩序列中 $D$ 元素的分布蕴含了原始本原序列的全部信息，则称 $\hat{\varphi}$ 关于 $D$-均匀性是单射的。在本文中，对于至少 $1-2(p-1)/(p^n-1)$ 的次数为 $n$ 的本原多项式，获得了关于 $\varphi$ 的清晰判据以判定 $\hat{\varphi}$ 是否关于 $D$-均匀性是单射的，并且 $Z/p^eZ$ 上的大多数映射诱导了 $G'(\sigma(x),p^e)$ 上的单射映射。此外，给出了 $\varphi$ 的一个充分条件以确保 $\hat{\varphi}$ 关于 $D$-均匀性的单射性。由该充分条件可知，若 $\sigma(x)$ 是强本原的且压缩映射 $\varphi(x)=f(x_{e-1})$，其中 $f(x_{e-1})$ 是 $\mathbb{F}_{p}$ 上的置换多项式，则对于 $\emptyset\neq D\subset\mathbb{F}_{p}$，$\hat{\varphi}$ 关于 $D$-均匀性是单射的。此外，我们给出了三类具体的压缩映射族，它们诱导了 $G'(\sigma(x),p^e)$ 上的单射映射。