酉群与正交群的自同构Lefschetz性质

设 $G$ 为定义在 ${\Bbb Q}$ 上的连通半单群。给定极大紧子群与适当的算术子群 $\Gamma\subset G({\Bbb Q})$，可构造算术流形 $S=S(\Gamma)=\Gamma\backslash X$。若 $H\subset G$ 为连通、$\theta$-稳定的半单子群，则对每个 $g\in G({\Bbb Q})$，可由映射 $H({\Bbb A})\to G({\Bbb A}), h\mapsto gh$ 诱导出算术流形间的浸入 $j_g \colon S(H,g)\to S$。设 $G$ 各向同性（anisotropic），则 $S$ 与 $S(H,g)$ 均为紧。此时对每个正整数 $k$，映射 $j_g$ 诱导限制映射 $$R_g \colon H^{k}(S, {\Bbb C})\to H^{k}(S(H,g), {\Bbb C}).$$ 本文关注与酉群及正交群即 $O(p,q)$ 与 $U(p,q)$ 相关的对称空间，并给出当限制到上同调的强本原（依 Vogan 与 Zuckerman 意义）部分时，映射 $R_g$（随 $g$ 取遍 $G({\Bbb Q})$）之积的单射性的显式判据。我们还给出限制映射 $R_e$ 的对偶映射 $$H^{k}(S(H), {\Bbb C}) \to H^{k+{\rm dim} S - {\rm dim} S(H)} (S, {\Bbb C})$$ 之单射性的显式判据。所得结果契合一个我们描述过的、与经典 Lefschetz 定理有强烈类比的更大猜想图景。实数算术流形情形下此类类比依然存在，这或许令人相当惊讶。我们最后给出关于算术流形中某些上同调类非零性的一些应用。