完备欧氏超曲面的无穷小弯曲

Dajczer 和 Vlachos \cite{DaVl} 最近给出了非平坦无穷小可弯曲欧氏超曲面的局部描述。从他们的分类可知，存在大量无穷小可弯曲但非等距可弯曲的超曲面。本文我们考虑完备超曲面 $f\colon M^n\to\mathbb{R}^{n+1}$, $n\geq 4$ 的情形。如果不存在开子集使得 $f$ 或是全测地的，或是 $\mathbb{R}^4$ 中无界超曲面上的柱面，我们证明 $f$ 仅沿直纹条带是无穷小可弯曲的。特别地，如果超曲面是单连通的，这意味着 $f$ 的任何无穷小弯曲都是等距弯曲的变分场。