Carnot-Carathéodory 空间中的 Hardy-Sobolev 型不等式

我们考虑与 $\RR^n$ 上满足 Hörmander 有限秩条件 $rank Lie[X_1,...,X_m] \equiv n$ 的光滑向量场系 $X=\{X_1, X_2,...,X_m\}$ 相关联的 Carnot-Carathéodory 空间 $(\Om, d)$ 上的各类 Hardy-Sobolev 不等式。我们的主要关注点之一是迹不等式 \int_{\Om}|\phi(x)|^{p}V(x)dx\leq C\int_{\Om}|X\phi|^{p}dx,\qquad \phi\in C^{\infty}_{0}(\Om)，其中 $V$ 为一般权函数，即 $\Om$ 上的非负局部可积函数，且 $1<p<+\infty$。在关于区域 $\Om\subset \Rn$ 的尖锐几何假设下（这些假设可用次椭圆容量或 Hausdorff 容度等价刻画），我们建立了多种形式的 Hardy-Sobolev 型不等式。