Carleman-Sobolev 类中 $0<p<1$ 时导数的独立性

我们继续研究与 G. Behm 合作的前期工作中关于 Carleman-Sobolev 类的内容。我们考虑记为 $W_\mathcal{M}^p$ 的空间，其定义为光滑函数集关于涉及所有阶导数的加权 Sobolev 型范数的抽象完备化。此前我们表明，这些类在权重序列 $\mathcal{M}$ 的某个条件的两侧表现截然不同。在此，我们证明该文中提出的一个猜想：在权重的某些正则性假设下，我们表明在该条件的一侧，导数之间存在完全独立性，表示为 $$W_\mathcal{M}^p\cong L^p\oplus W_{\mathcal{M}_1}^p$$ 其中 $\mathcal{M}_1$ 是平移后的序列。而在另一侧，我们已知可以将 $W_\mathcal{M}^p$ 嵌入到 $C^{\infty}(\mathbb{R})$ 中。因此，这是相变的一个实例。