$0<p<1$ 时 $L^p$-Carleman 类的临界拓扑

在本文中，我们解释了当指数 $0<p<1$ 时 $L^p$-Carleman 类出现的一种尖锐相变现象。原则上，这些类的定义与通常相同，仅将传统的 $L^\infty$ 界替换为相应的 $L^p$ 界。为了反映经典定义，我们还添加了伸缩不变性的特征，并考虑了一个更大的软拓扑空间，即 $L^p$-Carleman 类。一个特殊的退化实例是我们得到先前由 Peetre 在 Douady 最初洞察之后分析的 $L^p$-Sobolev 空间。Peetre 发现这些 $L^p$-Sobolev 空间在 $0<p<1$ 时高度退化。本质上，函数与其导数之间失去了联系。在此，我们针对由权重序列定义的更一般的 $L^p$-Carleman 类分析这种退化。在一些合理的增长与正则性性质，以及对测试函数集合的一个条件下，我们发现存在一条由权重序列定义的尖锐边界：在边界的一侧，我们得到 Douady-Peetre 的函数与导数之间“断开”（disconnexion）现象，而在另一侧，我们得到一组高度光滑的函数。我们还研究了在 $L^p$ 设定下（$0<p<1$）更标准的第二次相变，即非拟解析性与拟解析性之间的相变。