Improved upper bounds on color reversal by local inversions

我们研究了在局部反转下进行双色图颜色反转的问题。图 $G=(V,E)$ 的一种"双色化"是映射 $\beta: V \to \{-1,1\}$。在顶点 $v \in V$ 处的"局部反转"由反转 $v$ 的所有邻居的颜色并用其补图替换这些邻居诱导的子图构成，而保持 $v$ 及其余 $G$ 不变。Sabidussi（离散数学, 1987）证明，任何一个没有孤立顶点的 $n$ 顶点双色图可在至多 $6n+3$ 次局部反转内完成颜色反转（即在保持基本图不变的情况下翻转所有顶点颜色），并且任何双色图可在至多 $9n$ 次局部反转内转换为具有相同基本图的另一个双色图。我们改进了这两个上界：我们证明，第一个任务最多可在 $4n-3$ 次局部反转内完成，第二个任务最多可在 $\left \lfloor \frac{11n-3}{2} \right \rfloor$ 次局部反转内完成。此外，我们证明对于星形图和完全图，颜色反转最多可在 $3n$ 次局部反转内完成。