二分图的多彩顶点重着色

在顶点重着色问题中，给定$n$个顶点及其初始着色，边以在线方式到达。算法必须通过重着色顶点来维护有效着色，并产生代价。该问题抽象了作业在机器（可能在云端）中的放置场景，其中顶点代表作业，颜色代表机器，边代表“反亲和”（解耦）约束。在线重着色是一个困难问题。一类研究得较为透彻的实例是二分图，其中两种颜色足以满足所有约束。已知此时顶点重着色的竞争比为$\Theta(\log n)$。我们提出该问题的一个推广，允许使用额外颜色（可能代价更高）以改善整体性能。我们分析了最大\textit{键}（连通图的键是将图分割成两个连通分量的边割）有界的二分图的简单情况。首先，我们提出两种算法。一种展示了均匀代价情况下的权衡：给定$\Omega(\log\beta)\le c\le O(\log n)$种颜色，该算法保证其代价至多为最优离线两色代价的$O(\frac{\log n}{c})$倍，其中$n$是顶点数，$\beta$是最大键的大小。另一种算法针对额外颜色代价更高（$D>1$）的情况：给定$\Delta$种额外颜色（$\Delta$是图的最大度），该算法保证$O(\log D)$的竞争比。在下界方面，我们证明如果额外颜色的代价为$D>1$，则没有（随机化）算法能达到$o(\log D)$的竞争比。我们还证明，对于键大小无界的二分图，任何确定性在线算法的竞争比均为$\Omega(\min(D,\log n))$。