非局部扩散问题的改进能量方法

我们证明了以下类型非局部扩散算子的能量不等式及其一些推广：$Lu (x) := \int_{\mathbb{R}^N} K(x,y) (u(y) - u(x)) dy$，其中 $L$ 作用于定义在 $\mathbb{R}^N$ 上的实函数 $u$，并假设 $K(x,y)$ 在 $x=y$ 的邻域内一致严格正。该不等式是 Nash 不等式的非局部类似物，在研究非局部扩散方程 $\partial_t u = L u$ 解的渐近衰减中起着与 Nash 不等式对热方程相似的作用。该不等式使我们能够给出 $u$ 及其导数的 $L^p$ 范数的精确衰减率。与文献中现有的衰减结果相比，我们的证明可能更简单，并在某些情况下（特别是且令人惊讶地，在 $N = 1, 2$ 维中）给出了新结果。