自由交换幺半群的理想扩张

我们引入了一类新的幺半群，称之为间隙吸收幺半群。每个间隙吸收幺半群都是自由交换幺半群的一个理想扩张。对于间隙吸收幺半群 $S$，我们研究其原子集合与 Betti 元素，由此证明 $S$ 的链度至多为 4，且 $S$ 中任意元素的长度集合为一个区间。我们还给出了任意自由交换幺半群理想扩张的 $\omega$-素性界。对于 $\mathbb{N}^d$（其中 $d$ 为正整数）的理想扩张 $S$，我们证明 $\omega(S)$ 有限当且仅当 $S$ 具有有限个间隙。