正二十面体、例外奇点与模形式

我们发现 $E_8$ 奇点的方程具有两种不同的对称群与模参数化。其一为具有二十面体对称性的经典二十面体方程，其相伴模形式为五阶 θ 常数。另一由群 $\text{PSL}(2, 13)$ 给出，其相伴模形式为 $13$ 阶 θ 常数。由此，我们表明 $E_8$ 并非由正二十面体唯一确定。这解决了 Brieskorn 在 1970 年国际数学家大会（ICM）报告中关于奇异球面、正二十面体与 $E_8$ 之间神秘关系的问题。同时，它给出了 Arnold 的 $A, D, E$ 问题的一个反例，并且也解决了关于简单李代数与柏拉图立体之间关系的另一相关问题。此外，我们利用 $13$ 阶 θ 常数为例外奇点 $Q_{18}$、$E_{20}$ 与 $x^7+x^2 y^3+z^2=0$ 给出了模参数化，其中第二个奇点为费马-卡特兰猜想的解提供了一种新的解析构造，并回答了可追溯至 Klein 著作中的一个问题。