双曲傅里叶级数与 Klein-Gordon 方程

为了扩展经典傅里叶理论，Hedenmalm 和 Montes-Rodríguez (2011) 发现函数系 $$e_m(x)=e^{i\pi mx},\quad e_n^\dagger(x)=e_n(-1/x)=e^{-i\pi n/x}$$ 在 $L^{\infty}(\mathbb{R})$ 中是弱星完备的，其中 $m,n$ 取遍整数且 $n\ne0$。结果表明，该系统可用于提供实数线 $\mathbb{R}$ 上函数乃至更一般分布的唯表示。例如，我们可以唯一地表示点 $x\in\mathbb{R}$ 处的单位点质量：$$\delta_x(t)=A_0(x)+\sum_{n\ne0}\big(A_n(x)\,e^{i\pi nt} +B_n(x)\,e^{-i\pi n/t}\big),$$ 其系数至多为多项式增长，使得该和在分布论意义下收敛。在自然意义下，系统 $\{A_n,B_n\}_n$ 与实数线上的初始系统 $\{e_n,e_n^\dagger\}_n$ 是双正交的。更一般地，对于紧化实数线上的一个分布 $f$，我们可以将其分解为\emph{双曲傅里叶级数} $$f(t)=a_0(f)+\sum_{n\ne0}\big(a_n(f)\,e^{i\pi nt}+b_n(f)\,e^{-i\pi n/t}\big),$$ 该级数在分布论意义下收敛。此类双曲傅里叶级数源于两种不同的考量。其一是 Radchenko 和 Viazovska (2019) 研究的傅里叶插值问题，即从 $\phi$ 及其傅里叶变换 $\hat \phi$ 的部分信息中恢复 $\mathbb{R}^d$ 上的径向函数 $\phi$。另一考量是 Klein-Gordon 方程 $\partial_x\partial_y u+u=0$ 的插值理论。例如，双正交系统 $\{A_n,B_n\}_n$ 导出了一族解，这些解在格点交叉 $(\pi k,0)$ 和 $(0,\pi l)$ 上除其中一点外均为零。这些插值解允许从给定解 $u$ 在格点交叉上的值恢复该解。