余秩一幂等子代数的同调维数

设 $k$ 为代数闭域，$A$ 为（左、右）Noether 结合 $k$-代数。进一步假设 $A$ 为正分级或半完备的（这包括有限维 $k$-代数类，以及作为 Noether 中心 Hensel 环上有限生成模的 $k$-代数）。设 $e$ 为 $A$ 的本原幂等元，若 $A$ 为正分级，则假设其次数为 0。考虑幂等子代数 $\Gamma = (1-e)A(1-e)$ 和 $S_e$ 为单右 $A$-模 $S_e = eA/e{\rm rad}A$，其中 ${\rm rad}A$ 是 $A$ 的 Jacobson 根，若 $A$ 为正分级则为分级 Jacobson 根。本文利用 $S_e$ 的同调性质关联 $A$ 和 $\Gamma$ 的同调维数。首先，若 $S_e$ 没有任何次数的自扩张，则 $A$ 的整体维数有限当且仅当 $\Gamma$ 的整体维数有限。另一方面，若 $A$ 和 $\Gamma$ 的整体维数均有限，且 $A/{\rm rad}A$ 是有限维的，则 $S_e$ 不能具有大于一次的自扩张。