基于两尺度截影投影收敛的准晶泛函均匀化

我们考虑与如下形式的准晶多重积分相关的均匀化问题 \begin{equation*} \begin{aligned} u_\varepsilon\in L^p(\Omega;\mathbb{R}^d) \mapsto \int_\Omega f_R\Big(x,\frac{x}{\varepsilon}, u_\varepsilon(x)\Big)\, dx, \end{aligned} \end{equation*} 其中 $u_\varepsilon$ 满足常系数线性偏微分约束。底层复合材料的准晶结构编码于拉格朗日量 $f_R$ 对第二变量的依赖中，并通过截影投影格式建模，该格式将待均匀化的非均匀微观结构解释为更高维空间中的无理子空间。我们分析中的一个关键步骤是刻画向量场序列 $u_\varepsilon$ 的准晶两尺度极限，这些向量场属于给定常系数线性偏微分算子 $\mathcal{A}$ 的核，即 $\mathcal{A} u _\varepsilon =0$。我们的结果将文献中有关 ${\rm \mathcal{A} =curl }$ 情形的相关结论推广到更一般的常系数微分算子 $\mathcal{A}$，且不对拉格朗日量 $f_R$ 作强制性假设。