具有非一致有界系数的向量值函数上定义的等强制非线性能量的齐次化

本文研究定义于向量值函数空间 $W_)^{1,p}(\Omega)^M$ 上的非线性泛函的等强制序列 $\{\mathcal{F}_n\}$ 的渐近行为，其中 $p>1$，$M\ge1$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ ($N\ge2$) 的有界开集。泛函 $\{\mathcal{F}_n\}$ 的强局部能量密度 $F_n({\cdot}, Du)$ 关于第二个变量满足 Lipschitz 条件，该条件由正序列 $\{a_n\}$ 控制，而 $\{a_n\}$ 仅在某些合适的空间 $L^r(\Omega)$ 中有界。我们证明序列 $\{\mathcal{F}_n\}$ 关于 $L^p(\Omega)^M$ 的强拓扑 $\Gamma$-收敛到一个泛函 $\mathcal{F}$，该泛函对充分正则的函数 $u$ 具有强局部密度 $F({\cdot}, Du)$。该紧性结果推广了此前该主题的结果，那些结果或是基于非线性标量情形的最大值原理论证，或是基于线性情形中改进的 div-curl 引理。此处，问题的向量特征和非线性需要一种基于与泛函 $\mathcal{F}_n$ 相关的渐近极小子细心分析的新方法。通过对包括某些经典超弹性能量在内的若干例子，说明了施加于能量密度 $F_n({\cdot}, Du)$ 的条件的相关性。