关于完全非线性椭圆方程随机弱*概周期均匀化的一个注记

称函数 $f\in \BUC(\R^d)$ 为弱*概周期的，记为 $f\in\APs(\R^d)$，如果存在 $g\in\AP(\R^d)$ 使得 $\oM(|f-g|)=0$，其中 $\BUC(\R^d)$ 和 $\AP(\R^d)$ 分别是 $\R^d$ 上的有界一致连续函数空间和概周期函数空间，而 $\oM(h)$ 表示 $h$ 的均值（若其存在）。对于形如 $F(\om,\frac{x}{\ve},D^2u)=0$, $x\in U$ 的完全非线性一致椭圆方程的 Dirichlet 问题，在 $U\subset\R^d$ 有界域内，当对于几乎所有 $\om\in \Om$，实现 $F(\om,\cdot,M)$ 对所有 $M\in\S^d$ 都是弱*概周期函数时，我们给出了其随机均匀化性质的一个非常简单的直接证明，其中 $\S^d$ 是 $d\X d$ 对称矩阵空间。这里 $(\Om,\mu,\FF)$ 是一个概率空间，具有概率测度 $\mu$ 和 $\Om$ 的 $\mu$-可测子集的 $\s$-代数 $\FF$。对于每个固定的 $M\in\S^d$，$F(\om,y,M)$ 是一个平稳过程，即 $F(\om,y,M)=\tilde F(T(y)\om,M):= F(T(y)\om,0,M)$，其中 $T(y):\Om\to\Om$ 是一个遍历的保测映射群，且映射 $(\om,y)\to T(y)\om$ 是可测的。此外，$F(\om,y,M)$, $M\in\S^d$ 是一致椭圆的，其椭圆常数 $0<\l<\gL$ 与 $(\om,y)\in\Om\X\R^d$ 无关。本文给出的结果是 Caffarelli, Souganidis 和 Wang 在 CPAM 2005 中一般定理的一个特例。我们这里的重点只是为这一特例提供一个直接的证明，作为对该一般定理的动机，而后者的证明涉及更为复杂的论证。我们指出，任何连续平稳过程都满足几乎所有实现属于遍历代数的性质，并且到目前为止，$\APs(\R^d)$ 是 $\R^d$ 上已知最大的遍历代数。