遍历代数背景下广义 Stefan 问题的均匀化

我们在遍历代数的一般框架下，研究了一类双重非线性问题的确定性均匀化，该类问题推广了著名的 Stefan 模型，并包含了经典的多孔介质方程。该问题可表示为关于实值函数 $u(x,t)$ 的微分包含：$$\frac{\partial}{\partial t}\partial_u \Psi(x/\ve,x,u)-\nabla_x\cdot \nabla_\eta\psi( x/\ve,x,t,u,\nabla u) \ni f(x/\ve,x,t, u),$$ 定义在有界域 $\Om\subset \R^n$ 上，$t\in(0,T)$，并配有初始 - 边界条件；其中 $\Psi(z,x,\cdot)$ 是严格凸函数，$\psi(z,x,t,u,\cdot)$ 是 $C^1$ 凸函数，两者均具有二次增长性并满足某些额外的技术性假设。作为振荡变量的函数，$\Psi(\cdot,x,u)$、$\psi(\cdot,x,t,u,\eta)$ 和 $f(\cdot,x,t,u)$ 属于与任意遍历代数 $\AA$ 相关联的广义 Besicovitch 空间 $\BB^2$。Visintin (2007) 基于双尺度收敛技术研究了周期情形。Visintin 对周期情形的分析 heavily 依赖于将双尺度收敛归约为笛卡尔积 $\Pi\X\R^n$ 中的通常 $L^2$ 收敛的可能性，其中 $\Pi$ 是周期单胞。然而，在一般遍历代数的情形下，这种归约不再可行。为了克服这一困难，我们本质性地利用了与 $L^2$ 中有界序列相关联的、针对具有均值代数的双尺度 Young 测度概念。