五维空间中的齐次准平移

我们以现代语言给出了 Paul Gordan 与 Max Nöther 的一个结果的证明：维数为 5 且无线性不变量的齐次准平移必线性共于另一个形如 $x + H$ 的准平移，其中 $H_5$ 在 $\mathbb C$ 上关于 $H_1, H_2, H_3, H_4$ 代数独立。正如 Gordan 与 Nöther 那样，我们利用这一结果对所有使得海森矩阵行列式为零的 5 个不定元的齐次多项式 $h$ 进行分类。其他一些工作也声称重新证明了「Gordan 与 Nöther 在 $\mathbb P^4$ 中的结果」，但其中一些假设了 $h$ 不可约，而 Gordan 与 Nöther 并未做此假设。此外，他们并未利用上述关于五维齐次准平移的结果来进行分类。（然而有一篇论文可以很好地利用这一结果来修补一个由错误造成的缺口。）我们推导了 $H$ 的其他一些性质。其中之一是 ${\rm deg}\, H \ge 15$，我们给出了一个比 Dayan Liu 的另一个证明计算量更小的证明。进一步地，我们证明了 $H$ 的像的扎里斯基闭包是 $V(H)$ 的一个不可约分支，并证明了 $V(H)$ 的每个其他不可约分支都是 $\mathbb C^5$ 中一个包含第五个标准基向量的三维线性子空间。