加性相对不变量与线性自由除子的分量

“预齐次向量空间”是连通复线性代数群 $G$ 的有理表示 $\rho:G\to\mathrm{GL}(V)$，它具有一个 Zariski 开轨道 $\Omega\subset V$。Mikio Sato 证明了 $D:=V\setminus \Omega$ 的超曲面分量与 $H$ 的有理特征标 $H\to\mathrm{GL}(\mathbb{C})$ 有关，其中 $H$ 是 $G$ 的代数阿贝尔商。借鉴这一工作，我们研究了 $H$ 的“加性函数”，即同态 $\Phi:H\to (\mathbb{C},+)$。每个这样的 $\Phi$ 都与一个“加性相对不变量”相关，后者是 $V$ 上的有理函数 $h$，满足对所有 $g\in G$ 在 $\Omega$ 上有 $h\circ \rho(g)-h=\Phi(g)$。这样的 $h$ 是 $0$ 次齐次的，有助于描述 $D$ 的某些子集在 $G$ 作用下的行为。对于那些 $D$ 为被称为线性自由除子的超曲面的预齐次向量空间，我们证明了 $H$ 不存在非平凡的加性函数，因此 $H$ 是一个代数环面。由此我们深入理解了此类表示的结构，并证明了 $D$ 的不可约分量数等于 $G$ 的阿贝尔化的维数。对于某些特殊情况（$G$ 为阿贝尔群、约化群或可解群，或 $D$ 不可约），我们简化了现有结果的证明。我们还考察了 $V\setminus D$ 的同伦群。