具有无穷多渐近稳定单圈周期解的同宿相切

我们考虑 $\mathbb{R}^2$ 上任意 $C^\infty$ 映射 $f$ 到鞍点不动点的同宿轨道，并研究 $f$ 具有无穷族渐近稳定单圈周期解的现象。根据经典理论，这要求 $f$ 具有同宿相切。我们证明，$f$ 满足“全局共振”条件以及与不动点相关的特征值 $\lambda$ 和 $\sigma$ 满足 $|\lambda \sigma| = 1$ 也是必要的。在 $\lambda \sigma = -1$ 的情况下，该现象是余维三的；但在 $\lambda \sigma = 1$ 的情况下，该现象是余维四的，因为此时 $f$ 在不动点处的主阶共振项系数之和必须为零。我们还确定了该现象发生的充分条件，通过一个抽象映射族说明了结果，并展示了数值计算的吸引域。