测地流的全息性、调和度量与台球动力学

设 $(M, g)$ 为带边界的黎曼流形，其中 $g$ 为非捕获度量。令 $SM$ 为 $M$ 的球切丛空间，$v^g$ 为 $SM$ 上的测地向量场。我们研究由 $v^g$-流生成的散射映射 $C_{v^g}: \partial^+_1SM \to \partial^-_1SM$，以及台球映射 $B_{v^g, \tau}: \partial^+_1SM \to \partial^+_1SM$ 的动力学，其中 $\tau$ 表示模仿自边界 $\partial M$ 的弹性反射的对合。我们得到了一系列处理 $C_{v^g}$ 逆散射问题的全息定理，以及描述 $B_{v^g, \tau}$ 动力学的定理。我们的主要工具是 $v^g$ 的李雅普诺夫函数 $F: SM \to \mathbb R$ 以及 $SM$ 上特殊的调和黎曼度量 $g^\bullet$（在该度量下 $dF$ 为调和的）。对于此类度量 $g^\bullet$，我们得到一类等周不等式 $vol_{g^\bullet}(SM) \leq vol_{g^\bullet |}(\partial(SM))$，以及极小超曲面族 $\{F^{-1}(c)\}_{c \in F(SM)}$ 的平均体积公式。我们研究了调和度量 $g^\bullet$ 与 $SM$ 上经典佐佐木度量 $gg$ 之间的相互作用。在假设 $B_{v^g, \tau}$ 遍历性的前提下，我们还得到了关于 $M$ 中自由测地线段平均长度以及沿 $v^g$-轨迹的李雅普诺夫函数 $F$ 平均变分的 Santaló-Chernov 型公式。