混合数量曲率流与调和叶状结构

我们引入并研究了叶状黎曼流形 $(M,g)$ 上的度量流，其沿正交分布的速度与混合数量曲率 $\Sc_{\,\rm mix}$ 成正比。该流用于考察以下问题：叶状结构何时容许具有给定 $\Sc_{\,\rm mix}$ 性质（例如正或负）的度量？我们观察到该流保持了叶状结构的调和性，并导出了关于正交分布的平均曲率向量 $H$ 沿叶片的 Burgers 型方程。若 $H$ 是沿叶保守的，则其势函数服从非线性热方程 $\dt u=n\Delta_\calf\,u +(n\beta_{\mathcal D}+\Phi)\,u+\Psi^\calf_1 u^{-1}-\Psi^\calf_2 u^{-3}$，其中 $\Phi$ 为沿叶常数，$\beta_{\mathcal D}\ge0$ 和 $\Psi^\calf_i\ge0$ 为已知函数。我们研究了解的渐近行为，并证明在某些条件下（用沿叶 Schr"{o}dinger 算子 $\mathcal{H}_\calf=-\Delta_\calf -\beta_{\mathcal D}\id$ 的谱参数表示），存在唯一的全局解 $g_t$，其 $\Sc_{\rm mix}$ 当 $t\to\infty$ 时指数收敛于一个沿叶常数。当所有叶片紧致且具有有限和乐群时，这些度量在 $M$ 上是光滑的。因此，在某些情况下，存在与 $g$ ${\mathcal D}$-共形的度量，其 $\Sc_{\rm mix}$ 为负或正。