一维硬球的极大余维碰撞与不变测度

对任意 $N\geq 3$，我们研究 $N$ 个硬球（其中心被约束在一条直线上）动力学的不变测度。特别地，我们研究硬球台球表切丛的不变子流形 $\mathcal{M}$，其由导致所有 $N$ 个硬球同时碰撞的初始数据构成。首先，我们刻画了那些连续可微的 $N$ 体散射映射，其在 $\mathcal{M}$ 上生成承认 $\mathcal{M}$ 上典则加权 Hausdorff 测度（我们称之为 $\mathcal{M}$ 上的 Liouville 测度）为不变测度的台球动力学。为此，我们推导了所有此类散射映射必须满足的完全非线性偏微分方程的第二边值问题。其次，通过求解一族函数方程，我们找到了关于绝对连续于 Hausdorff 测度的测度的充分条件，使其对守恒动量与能量的台球流不变。最后，我们证明唯一的守恒动量与能量的线性 $N$ 体散射映射所生成的台球动力学承认 $\mathcal{M}$ 上的 Liouville 测度为不变测度。