刚体碰撞与非标准台球的微分几何

由 $\mathbb{R}^n$ ($n\geq 1$) 中两个无约束刚体组成的机械系统的位形流形 $M$ 是一个具有边界（通常带有奇点）的流形。对系统的完整描述需要边界条件，以指定碰撞后轨道应如何延续。边界条件是在 $M$ 边界的每个切空间上分配一个碰撞映射，该映射将碰撞前状态作为输入给出系统的碰撞后状态。我们的主要结果是对满足能量守恒、动量守恒（线动量和角动量）、时间反演对称性以及冲量力仅作用于碰撞体接触点这一自然要求的线性碰撞映射空间的完整描述。这些假设可以通过明确 $M$ 边界切丛的一系列向量子丛（即对角子丛、无滑移子丛和冲量子丛）用几何语言表述。研究表明，边界构型处的碰撞映射是限制在无滑移子空间上为单位映射的等距对合。此类映射的空间自然地等同于 $\mathbb{R}^{n-1}$ 中 $k$ 维子空间的格拉斯曼流形的并集 ($0\leq k\leq n-1$)，每个子空间指定了接触粗糙度的方向。随后，我们考虑了非标准台球系统，其定义为固定其中一个物体的位置并允许不同于镜面反射的边界条件。我们还对非标准台球的简单示例做出了一些动力学性质的观察，并提供了台球映射在边界状态空间上保持恒能超曲面上规范 (Liouville) 测度的充分条件。