无滑台球中周期轨道的稳定性

在二维情形下，满足一组自然物理条件的刚体碰撞映射可分为两类：标准镜面反射映射和第二类映射，我们沿用 Broomhead 和 Gutkin 的命名称之为无滑映射。这引出了对无滑台球的研究——一种平面台球系统，其中运动粒子是一个圆盘（具有旋转对称的质量分布），其平动速度和转动速度在每次与台球区域边界碰撞时均可改变。本文大幅推广了先前关于无滑台球轨道有界性（Broomhead 和 Gutkin）以及 Sinai 型台球周期轨道线性稳定性（Wojtkowski）的结果。我们证明了以下事实，其中包括：(i) 对于具有分段光滑边界且至少包含一个内角小于 $\pi$ 的角的平面台球区域，无滑台球动力学始终包含椭圆型周期 $2$ 轨道；(ii) 多边形无滑台球始终容许小的不变开集，因此相对于典范不变台球测度不可能是遍历的；(iii) Sinai 台球的无滑版本必定包含周期 $2$ 的线性稳定周期轨道，更一般地，我们给出了一个曲率阈值，在该阈值处一个常见的周期 $2$ 轨道从双曲型转变为椭圆型；(iv) 最后，我们对一类多边形台球中的周期轨道给出了若干观察结果。