关于多边形台球局部理论的研究

如果多边形台球桌上的周期轨迹在台桌的任何足够小扰动下都能保持存在，则称该轨迹是稳定的。一个标准结果是，$n$ 边形上的周期轨迹自然地产生 $n$ 穿孔球面上的闭合路径，且当且仅当该路径为零同调时，轨迹才是稳定的。我们利用覆盖空间的语言给出了这一结果的新证明，该方法可推广以刻画多边形邻域内的稳定轨迹。利用此方法，我们对 30-60-90 三角形附近的稳定周期轨迹进行了分类，并给出了 Schwartz 结果的新证明，即三角形的任何邻域都不能被有限个轨道瓦片覆盖。我们还扩展了 Hooper 和 Schwartz 的结果，即等腰 Veech 三角形 $V_n$ 在 $n=2^m, m\ge 2$ 时不存在周期轨迹，并考察了他们关于 $V_n$ 的任何邻域都不能被有限个轨道瓦片覆盖的猜想。