多边形对的辛面积 billiards
动力系统
2024-02-20 v1 辛几何
摘要
我们引入多边形对的辛面积 billiards。在建立基本性质后，我们给出若干判据，判定多边形对的辛 billiards 映射是否完全周期，即“每个轨道都是周期的”。首先由 Albers-Tabachnikov 在 [AT18] 和 Albers-Banhatti-Sadlo-Schwartz-Tabachnikov 在 [ABS+19] 中发现了完全周期的例子。我们的判据使我们能够构造大量新的例子。此外，我们提供了一个多边形对的例子，其中辛 billiards 映射是完全周期的，但轨道的周期数可达任意大。在给出一类具有孤立周期轨道（因此非完全周期）的例子后，我们展示了第一个没有任何周期轨道的例子。对于单个多边形情形，是否存在完全周期且周期数无界，或没有任何周期轨道，仍是开放问题。最后，我们证明如果将多边形替换为光滑严格凸曲线，则必然存在无限多个周期轨道。
关键词
引用
@article{arxiv.2402.12244,
title = {Symplectic billiards for pairs of polygons},
author = {Peter Albers and Fabian Lander and Jannik M. Westermann},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.12244},
year = {2024}
}
备注
37 pages, 41 figures