Hirzebruch 流形与正全纯截面曲率

本文是系统研究具有正全纯截面曲率（$H > 0$）的 Kähler 流形实例的第一步。此前，Hitchin 证明了任何具有 $H>0$ 的紧 Kähler 曲面必定是有理曲面，并在 Hirzebruch 曲面 $M_{2, k}=\mathbb{P}(H^{k}\oplus 1_{\mathbb{CP}^1})$ 上构造了此类实例。我们推广了 Hitchin 的构造，并证明任何 Hirzebruch 流形 $M_{n, k}=\mathbb{P}(H^{k}\oplus 1_{\mathbb{CP}^{n-1}})$ 在其每个 Kähler 类中都容许一个 $H>0$ 的 Kähler 度量。我们证明了新实例的全纯截面曲率的 pinching 行为不同于 Hitchin 实例的 pinching 行为，后者在 Alvarez-Chaturvedi-Heier 近期的工作中已被研究。此外，本文还讨论了与 Hirzebruch 流形上 Kähler-Ricci 流近期工作的一些联系。研究给定 Kähler 流形上所有 $H>0$ 的 Kähler 度量构成的空间似乎是一个有趣的问题。我们给出了高维实例，其中某些 Kähler 类容许 $H>0$ 的 Kähler 度量，而某些则不容许。