高阶R\'edei互反律与圆锥曲线上的整点

固定一个整数 $l$，使得 $|l|$ 为模 $4$ 余 $3$ 的素数。设 $d > 0$ 为无平方因子整数，$N_d(x, y)$ 为 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的主二元二次型。基于 Alexander Smith 的一项突破，我们给出了当 $d$ 在无平方因子且被 $l$ 整除的整数中变化时，$N_d(x, y) = l$ 在整数 $x$ 和 $y$ 中可解性的渐近公式。作为推论，在 $l > 0$ 的情形下，我们给出了当 $d$ 遍历所有正无平方因子整数时，域 $\mathbb{Q}(\sqrt{-l}, \sqrt{d})$ 的 Hasse 单位指数为 $2$ 这一事件的渐近公式。我们还改进了 Fouvry 和 Kl"uners 的结果以及 Chan、Milovic 和作者近期关于负 Pell 方程可解性的结果。我们的主要新工具是 R\'edei 经典互反律的一个推广。