Pell 方程的逆问题与最小型实二次域

本文旨在给出 Pell 型方程逆问题的解。对于任意有理数 $0< a/b < 1$，满足 $(\lfloor \sqrt{D} \rfloor b + a)^2 - D b^2 = 4$ 的基本判别式 $D$ 可通过二次递推序列给出。此前关于该问题的研究基于对称序列 $\{a_1,\...,a_{l-1}\}$ 和周期连分数 $[a_0,\bar{a_1,\...,a_{l-1},a_l}]$，但本文采用一种完全不同的方法，使用更简单的参数解决了该问题。结果是通过衡量有理数对 $\sqrt{d}$ 或 $\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ 的逼近质量，并为每个有理数定义一个短区间而获得的。基于此表述，我们还证明了对于几乎所有无平方因子整数 $d$，$d$ 是某个 $a/b$ 对应的指定二次递推序列中的最小元素。