Muttalib–Borodin系综硬边的高阶大间隙渐近性

我们考虑在Muttalib–Borodin系综硬边出现的极限过程。该点过程依赖于$\theta > 0$，并具有由Wright广义Bessel函数构成的核。在最近的一篇论文中，Claeys、Girotti和Stivigny建立了这些系综中大间隙概率的一阶和二阶渐近性。这些渐近式形如\begin{equation*} \mathbb{P}(\mbox{gap on } [0,s]) = C \exp \left( -a s^{2\rho} + b s^{\rho} + c \ln s \right) (1 + o(1)) \qquad \mbox{as }s \to + \infty, \end{equation*}其中常数$\rho$、$a$和$b$已通过关于$s$的微分恒等式和Riemann–Hilbert问题的分析显式导出。他们的方法可用于计算$c$（需更多努力），但无法计算$C$。在本工作中，我们通过采用关于$\theta$的微分恒等式获得了常数$c$和$C$的表达式。当$\theta$为有理数时，我们发现$C$可用Barnes的$G$-函数表示。我们还证明了该渐近公式可扩展到$s$的所有阶。