$\beta$-系综硬边处间距分布的渐近性

在先前的工作 [J. Math. Phys. {\bf 35} (1994), 2539--2551] 中，利用广义超几何函数严格推导了一般 $\beta > 0$ 间隙概率 $E_\beta^{\rm hard}(0;(0,s);\beta a/2)$ 的大 $s$ 渐近形式，前提是 $\beta a /2 \in \mathbb Z_\ge 0$ 且 $2/\beta \in \mathbb Z^+$。本文展示了如何扩展该方法的细节以去除 $2/\beta \in \mathbb Z^+$ 的要求。此外，通过将间隙概率 $E_\beta(n;(0,x);{\rm ME}_{\beta,N}(\lambda^{a \beta /2} e^{\beta N \lambda/2}))$ 表示为某一线性统计量的特征函数，推导出了其大偏差公式。通过缩放 $x = s/(4N)^2$ 并取 $N \to \infty$，证明了该公式重现了近期关于 $E_\beta^{\rm hard}(n;(0,s);\beta a/2)$（其中 $\beta a /2 \in \mathbb Z_{\ge 0}$）的猜想公式，并且给出了不受后者限制的预测。这一扩展公式（其常数项涉及 Barnes 双伽马函数）被证明满足一个渐近函数方程，该方程将参数为 $(\beta,n,a)$ 的间隙概率与参数为 $(4/\beta,n',a')$ 的间隙概率联系起来，其中 $n'=\beta(n+1)/2-1$，$a'=\beta(a-2)/2+2$。