通过退化方程的高阶边界Harnack原理

作为第一个结果，我们证明了对如下奇异/退化椭圆方程解的高阶Schauder估计：$$-\mathrm{div}\left(\rho^aA\nabla w\right)=\rho^af+\mathrm{div}\left(\rho^aF\right) \quad\textrm{in}\; \Omega$$对指数$a>-1$，其中权$\rho$以非退化方式在正则超曲面$\Gamma$上消失，$\Gamma$可以是$\Omega$边界的一部分或主要包含于其内部。作为应用，当$u$的零集在区域内非奇异时（此时$\rho=u$、$a=2$、$w=v/u$），我们将此类估计推广到二阶散度型椭圆方程两个解之比$v/u$，其中$v$的零集包含$u$的零集。我们遵循De Silva和Savin建立的高阶边界Harnack原理精神，证明了该比值在$u$零集正则部分一侧的$C^{k,\alpha}$正则性。随后，通过粘合引理，估计跨零集正则部分延拓。最后，在维数$n=2$利用共形映射，我们给出了该比值也跨奇异集成立的局部梯度估计。